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目次
序文
第１章 確率論からの準備
1.1 復習
1.2 Lp-空間
1.3 条件付き期待値
1.4 条件付き期待値に関するJensenの不等式
1.5 いくつかの注意
第２章 離散時間マルチンゲール
2.1 マルチンゲールの定義
2.2 Doobの不等式
2.3 停止時刻
2.4 Doob分解とマルチンゲール変換
2.5 上方横断数と下方横断数
2.6 一様可積分性
2.7 Lévyの定理
2.8 Doob分解に対する一注意
第３章 連続時間パラメータのマルチンゲール
3.1 確率過程に対する種々の概念
3.2 D-修正
3.3 Doobの不等式と停止時刻
3.4 Doob-Meyer分解
3.5 ２次変分
3.6 局所連続マルチンゲール
3.7 ブラウン運動
3.8 最適停止問題
第４章 確率積分
4.1 確率過程の作る空間
4.2 連続セミマルチンゲール
4.3 伊藤の公式
第５章 確率積分の応用
5.1 ブラウン運動の特徴付け
5.2 局所マルチンゲールの表現定理
5.3 Girsanov変換
5.4 モーメントに関する不等式
5.5 伊藤の表現定理
5.6 ブラウン運動の性質
5.7 田中の公式
第６章 確率微分方程式
6.1 伊藤の確率微分方程式とオイラー・丸山近似
6.2 確率微分方程式の定義
6.3 マルチンゲール問題の一意性
6.4 時間一様な確率微分方程式
6.5 確率微分方程式の解の滑らかさ
第７章 ファイナンスへの応用
7.1 基本的設定と動的ポートフォリオ戦略
7.2 ブラック・ショールズモデル
7.3 より一般の場合
7.4 アメリカンデリバティブ
第８章 付録
8.1 Dynkinの補題
8.2 凸関数
8.3 L2-弱コンパクト性
8.4 一般逆行列
8.5 定理5.6.3の証明
8.6 グロンウォールの不等式
記号表
後書き
参考文献
索引
第１章 確率論からの準備
1.1 復習
1.2 Lp-空間
1.3 条件付き期待値
1.4 条件付き期待値に関するJensenの不等式
1.5 いくつかの注意
第２章 離散時間マルチンゲール
2.1 マルチンゲールの定義
2.2 Doobの不等式
2.3 停止時刻
2.4 Doob分解とマルチンゲール変換
2.5 上方横断数と下方横断数
2.6 一様可積分性
2.7 Lévyの定理
2.8 Doob分解に対する一注意
第３章 連続時間パラメータのマルチンゲール
3.1 確率過程に対する種々の概念
3.2 D-修正
3.3 Doobの不等式と停止時刻
3.4 Doob-Meyer分解
3.5 ２次変分
3.6 局所連続マルチンゲール
3.7 ブラウン運動
3.8 最適停止問題
第４章 確率積分
4.1 確率過程の作る空間
4.2 連続セミマルチンゲール
4.3 伊藤の公式
第５章 確率積分の応用
5.1 ブラウン運動の特徴付け
5.2 局所マルチンゲールの表現定理
5.3 Girsanov変換
5.4 モーメントに関する不等式
5.5 伊藤の表現定理
5.6 ブラウン運動の性質
5.7 田中の公式
第６章 確率微分方程式
6.1 伊藤の確率微分方程式とオイラー・丸山近似
6.2 確率微分方程式の定義
6.3 マルチンゲール問題の一意性
6.4 時間一様な確率微分方程式
6.5 確率微分方程式の解の滑らかさ
第７章 ファイナンスへの応用
7.1 基本的設定と動的ポートフォリオ戦略
7.2 ブラック・ショールズモデル
7.3 より一般の場合
7.4 アメリカンデリバティブ
第８章 付録
8.1 Dynkinの補題
8.2 凸関数
8.3 L2-弱コンパクト性
8.4 一般逆行列
8.5 定理5.6.3の証明
8.6 グロンウォールの不等式
記号表
後書き
参考文献
索引
内容説明
確率解析に関する教科書や専門書は内外にわたり多数刊行されている。それらの多くは，ファイナンスなどへの応用を考えると，内容が不十分であったり，多すぎて大部な本になっている。本書ではできるだけ簡潔に確率解析の結果をまとめ，証明も省かずに説明されている。
確率過程論は一般的にマルチンゲールの理論を基本として論じられる。この理論はDoob:Stochastic Processes, 1953, により創始された。Doobは確率過程を連続と仮定する問題に対して，独立確率変数の和の理論に関するKolmogorov のアイデアを整理して活用し，マルチンゲールの考え方を巧みに用いて展開した。
マルチンゲールの理論は伊藤清の確率積分，確率微分方程式のアイデアと結びつき，1970年代に飛躍的に発展した。特にフランス学派により不連続なマルチンゲールを含む壮大な一般理論が形成された。しかし応用上は連続なマルチンゲールが最も重要であり，日本では一般的に確率解析は連続なマルチンゲール理論を指す。
本書は必要な知識を2乗可積分という枠組みで説明し，関数解析の知識が必要ないよう配慮されると共に，予備知識としては線形代数及び測度論が必要だが，測度論に必要な知識は第１章で解説されている。東京大学数理科学科の長年の講義に基づく第一級の教科書である。
